COORDENADAS POLARES

septiembre 25, 2009 fatima0107
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COORDENADAS POLARES

Una forma familiar de localizar un punto en el plano de coodenadas es especificando sus coordenadas rectangulares(x,y); es decir dando su abscisa x y su ordenada y relativos a los ejes perpendiculares dados.En algunos problemas es mas conveniente localizar un punto mediante sus coordenadas polares. Las coordenadas polares dan su posicion relativa a un punto de referencia fijo 0(el polo) y a un rayo dado(el eje polar) que parte de 0.

Comenzamos con un sistema de coordenadasxy” dado y despues consideramos al origen como el polo y al x no negativo como el eje polar.Dado el polo O y el eje polar, el punto P con coordenadas polares r y θ, escritas como un par ordenado(r,θ), se localiza como sigue.
Primero determinamos el lado terminal del angulo θ , dado en radianes, que se mide en sentido contrario a als manecllas del reloj(si θ>0) con el eje x(el eje polar) como su lado inicial.Si r ≥0, entonces P esta sobre el lado terminal de este angulo a una distancia r del origen.Si r 0. La coordenada radial r puede describirse como la distancia dirigida de P desde el polo al lado terminal del angulo θ.polar1

 GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES

 La grafica de una ecuacion polar, denominada grafica polar, consta de aquellos puntos y solo aquellos que al menos tienen un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuacion. En esta seccion se discutiran propiedades de tales graficas y se obtendran hechas a mano y en la calculadora grafica o graficadora.La ecuacion

θ =C

 Ecuaciones polares de rectas y circunferencias

 C,a y b son constantes

 θ = C     Recta que contiene al polo; forma un angulo de C radianes con el eje polar.

 r sen θ = b   Recta paralela al eje polar; arriba del eje polar si b>0, debajo del eje polar si b<0.

 r cos θ = a     Recta paralela al eje  1/2π; a le derecha del eje 1/2π si a>0, a la izquierda del eje 1/2π si a>0.

 r = C        Circunferencia; centro en el polo; radio C.

 r = 2a cos θ  Circunferencia; radio | a |;tangente al eje 1/2π; centro en el eje polar o en su  prolongacion.

 r = 2b sen θ  Circunferencia; radio |  b |;tangente al eje polar; centro en el eje 1/2π o en suprolongacion.573px-Coordenadas_polares_svgimage161

 

 

 

 

La grafica polar del ejemplo ilustrativo se denominalimacon”,una palabra francesa que proviene del latinlimax” y que significa caracol(o limacon) es la grafica de una ecuacion de la forma:

r =a ± b cos θ     o     r= a ± b sen θ

 donde a>0 y b>0. Existen cuatro tipos de caracoles, que dependen de la razon a/b.

  • Caracol con un lazo
  • Cardioide
  • Caracol con hendidura
  • Caracol convexo

 [7.5, 7.5] por  [-5,5]

r= 2 + 2 cosθImage5625

 

 

La curva de ejemplo es una rosa de cuatro petalos. Las ecuaciones r = a cos nθ y r =a sen nθ representan “rosas” con 2n “petalos”, o ciclos, si n es par y n≥ 2 pero con n ciclos si n es impar y n ≥ 3.

La rosa de cuatro petalos exhibe varios tipos de simetria. Las siguientes son algunas condiciones suficientes de simetria en coordenadas polares:polar2

  • Para la simetria con respecto del eje x:la ecuacion no cambia cuando θ se remplaza por –θ.
  • Para la simetria con respecto del eje y: la ecuacion no cambia cuando θ se remplaza por π –θ.
  • Para la simetria con respecto del origen: la ecuacion no cambia cuando r se remplaza por –r.image024

 

 

 

Aplicaciones

Las coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se sitúen en un plano bidimensional. Son las más adecuadas en cualquier contexto donde el fenómeno a considerar esté directamente ligado con la dirección y longitud de un punto central, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arquímedes, cuya ecuación en coordenadas cartesianas sería mucho más intrincada. Además muchos sistemas físicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenómenos originados desde un punto central, son más simples y más intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivación inicial de la introducción del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

                                BIBLIOGRAFIAS

 MATEMATICAS PREVIAS AL CALCULO  “LEITHOLD”

 CALCULO CON GEOMETRIA ANALITICA “EDWARDS Y PENNEY”

 CALCULO MULTIVARIABLE  JAMES STEWART

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